基础数学示例

$\frac{8 p^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $8 p^{3}$ 重写为 ${(2 p)}^{3}$ 。

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1^{3}}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2 p$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(2 p + 1) ({(2 p)}^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

对 $2 p$ 运用乘积法则。

$\frac{(2 p + 1) (2^{2} p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 1.4.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(4 p^{3} + 20 p^{2}) - p - 5}$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{2} (p + 5) - (p + 5)}$

解题步骤 2.2

通过因式分解出最大公因数 $p + 5$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (4 p^{2} - 1)}$

解题步骤 2.3

将 $4 p^{2}$ 重写为 ${(2 p)}^{2}$ 。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1)}$

解题步骤 2.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1^{2})}$

解题步骤 2.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 p$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

解题步骤 3

约去 $2 p + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

解题步骤 3.2

重写表达式。

$\frac{4 p^{2} - 2 p + 1}{(p + 5) (2 p - 1)}$

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